Curso introductorio de matemáticas, día 2

Día 2

1.1.3 Operaciones

Con los números reales hay dos operaciones muy importantes: la suma (o adición) y el producto (o multiplicación). Veamos sus propiedades, y unos cuantos ejemplos.

-La suma o adición, es lo que se conoce como suma. Cumple las siguientes propiedades:

    1.Conmutativa: x +y = y +x

    2. Asociativa: (x+y) + z = x + (y+z)

    3. Elemento neutro: x + 0 = x

–La diferencia (o resta) puede verse como una suma:

                                                               x−y = x +(−y).

Hay que tener en cuenta las siguientes propiedades:

x+0 = x; −(−x) =x; x+(−x) = 0; −(x+y) =−x−y; −(x−y) =−x+y.

El producto de dos números se representa de varias maneras:

                               3×4=3 ·4 = 12,

                              2 ×a =2. a =2a,

                             a×x = a.x = ax .

Algunas propiedades del producto son:

         1x = x, 0x =0, xy =0=⇒x = 0 ó y =0.

-La propiedad distributiva o propiedad del factor común relaciona la suma y el producto:

                                               x (y + z) =xy + xz

   Como se puede observar, se ha multiplicado ‘x’ por los elementos encontrados en el paréntesis. La forma de la izquierda equivale a la forma de la parte derecha.

Ejemplo. Se cumple lo siguiente:

 a−b (a + 1) =a−ba−b

Ejemplo. Se verifican las siguientes igualdades:

        (1−b) a + a = a−ba + a =2 a−ba = (2−b) a

-El cociente (o División) de dos números se suele escribir de varias formas:

       a: b = a /b

No tiene significado la División por 0, así que no se debe escribir 1/0 , ni 0/0·

El cociente se puede contemplar como un producto:

x/y= x * 1/y = x (1/y)

El producto repetido de un mismo factor da lugar a las potencias (de exponente natural):

          x^n = x x x … x (n veces)

Ejemplo: 3*3*3*3 = 3^4 = 81

Algunas propiedades:

1. En producto con potencias, si la base es la misma, los exponentes se suman.
2. En división con potencias, si la base es la misma, los exponentes se restan.
3. Tener de exponente -1, es equivalente a que dado un número z elevado a dicho exponente, se tenga la fracción 1/z.

Ejercicios

1. Desarrolle la expresión a-(a-b) y simplifique lo más que pueda:
2. Obtenga el factor común de la expresión (1-b) a +a y simplifique lo más que pueda.
3. Escribir como diferencias las siguientes sumas: (a) 5+7; (b) 2+(−π); (c) e+1;(d)2+√2; (e) 4 + (−1); (f) −2 + 3.
4. Escribir como cocientes los siguientes productos: (a) 2· 1/7; (b) 3 · −11/2; (c) 3 ·2
5. Exprese una forma alternativa de la expresión: b/w + b