Curso introductorio de matemáticas, día 4

1.1.7. Divisibilidad

Para abordar el tema de la divisibilidad, solo se tendrá en cuenta números naturales (1,2,3…). Se avisa al lector que este tema no posee tanta dificultad, por ello, se dispondrá de una gran cantidad de ejercicios para ir practicando.

-Sean m y n números naturales. Se dice que m es múltiplo de n y que n es divisor de m si existe otro natural k de modo que m = kn.

Por ejemplo:

Múltiplos de 6 = {6,12,18,24…} (conjunto infinito)

  • 12 = 2*6 à 2 = k y 6 = n

Divisores de 6 = {1,2,3,6} (conjunto finito)

*nótese que, si m es múltiplo de n, m es divisible por n

Un número natural p se dice que es primo si p>1 y sus únicos divisores son 1 y p. Los primeros números primos son:

                         2,3,5,7,11,13…

– Todo número natural se puede representar de forma única como producto de números primos (y sus potencias). Por ejemplo: 12 = (2^2) ·3. à 3 es número primo y 2^2 es potencia.

– Se define el máximo común divisor de dos o más números naturales, y se denota por m.c.d., como el mayor de los divisores comunes a dichos números.

– Se define el mínimo común múltiplo de dos o más números naturales, y se denota por m.c.m., como el menor de los múltiplos comunes a dichos números.

Ejercicios

    1.Halle el m.c.d de 225 y 300 (use la técnica del capítulo anterior).

    2.Halle el m.c.m de 108 y 180 (use la técnica del capítulo anterior).

    3. Calcular todos los divisores de los números (a) 60; (b) 315; (c) 1111.

    4. En su ferretería, Joel, tiene los tornillos metidos en bolsas. En la caja A tiene bolsas    con 18 tornillos cada una, en la caja B las bolsas contienen 24 tornillos cada una y en la caja C las bolsas son de 30 tornillos cada una. Todas las cajas tienen el mismo número de tornillos. Su compañera de trabajo, Ellie, le hace la siguiente pregunta:

    – ¿Cuántos tornillos como mínimo hay en cada caja?

   5. Alex, Lucía y Juan trabajan en una empresa de base de datos; Oracle. Teniendo en cuenta que Alex actualiza la base de datos cada 12 días, Lucía cada 18 días y Juan cada 24 días. Hoy ha sido un día atípico y han coincidido todos en la actualización. ¿Dentro de cuándo coincidirán de nuevo?

6. Nadia tiene una empresa de vodka. El vodka al ser producido es guardado en recipientes de 250 litros, 360 litros, y 120 litros. Se desea poder embotellar el vodka en recipientes de igual medida (sin que sobre recipiente sin líquido). ¿Qué capacidad deben tener las botellas? ¿Cuántas botellas habrá por cada recipiente?

7. Se quiere embaldosar el suelo de una pista de baile de 1620 cm de larga por 980 cm de ancha con losetas cuadradas lo más grandes posible, sin que haya que romper ninguna. ¿Cuál será el lado de cada loseta? ¿Cuántas se necesitarán?

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