Curso introductorio de matemáticas, día 7

Día 7

En el capítulo de hoy se seguirán explicando conceptos relacionados con lo último dado.

1.2.2. Fórmula del binomio de Newton

Queremos calcular las potencias de un binomio (a + b). Ya sabemos que:

                                                          (a+b)⁰ = 1

                                                        (a+b) = a + b

                                                  (a+b) ² = a² + 2ab + b²

                                                        (a + b)³ = a³ + 3*a²*b + 3*a*b² + b³

 Escrito de otra forma se podría tener lo siguiente:                                                                    

  Lo curioso es que este dibujo, no es un simple dibujo. Se trata del triángulo de Pascal o triángulo de Tartaglia. La regla, es que cada número es el resultado de la suma de los dos que se encuentran justo encima de este. Siguiendo un poco más, se puede obtener lo siguiente:

                                                                      1             max. Exponente = 0    1 1 1 max. Exponente = 1

                                                            1         2      1      max. Exponente = 2

                                                        1        3        3       1   max. Exponente = 3

                                                    1       4        6         4     1   max. Exponente = 4

                                                 1     5         10     10      5       1   max. Exponente = 5

                                          1       6        15       20      15       6     1   max. Exponente = 6

Por tanto, a partir de estas nuevas ‘filas’, se pueden obtener las siguientes expresiones:

                                    (a +b)⁴ = a^{4 +} 4*a³*b + 6*a² * b² + 4*a*b³ + b⁴

                             (a + b)⁵ = a⁵ +5*a⁴*b + 10*a³*b² + 10*a²*b³ +5*a*b⁴ + b⁵

Nos podemos fijar que los valores de los exponentes de los términos a y b siguen un patrón común:

          Aⁿ de donde n empieza valiendo max. Exponente y acaba con valor 0

         Bⁿ de donde n empieza valiendo 0 y acaba con valor max. Exponente.

A partir de haber explicado el triángulo de Pascal, se puede mostrar la siguiente notación:  

Pero ¿y si le dijese que hay una fórmula para hallar el valor que se quiera sin tener el triángulo delante? Primero definamos brevemente lo qué es un factorial.

-Dado n un número natural que tenga valor 4, el factorial será:

      4! = 4 * 3 * 2* 1 = 24

 En resumen:   n! = n * (n-1) * …. * 3 * 2 * 1

Una vez definido lo que es un factorial, se mostrará a continuación la fórmula para solventar cualquier valor del triángulo de Pascal.

En la última fórmula, el símbolo un poco extraño es un sumatorio. Este indica que el valor de ‘i’ irá desde 0 hasta n, y que se irá sumando el resultado parcial a la expresión que se va obteniendo. Con este sumatorio, se consigue tener todos los sumandos.

Ejercicios