Curso introductorio de matemáticas, día 8

Día 8

1.3. Variaciones, permutaciones y combinaciones

Ejemplo. En un club de ajedrez en el que son socios 20 personas hay que nombrar un presidente, un secretario y un tesorero. Se puede hacer de muchas formas. El presidente puede ser cualquiera de las 20; elegido el presidente, el secretario puede ser cualquiera de los 19 restantes; elegidos presidente y secretario, el puesto de tesorero lo puede ocupar cualquiera de las otras 18. En total hay:

                                                    V_20,3 = 20*19*18 =  20! / 17!

maneras de hacer el reparto de roles. Hay que observar que la elección de Magnus como presidente, Andrea como secretaria y Ayanami como tesorera, es diferente de Andrea como presidenta, Magnus como secretario y Ayanami como tesorera; es decir, resulta importante el orden (presidente, secretario y tesorero) en el que se elijan las personas.

• Se llama variación de ‘m’ objetos de tamaño ‘n’ a cualquiera de los grupos ordenados de ‘n’ objetos que se pueden formar con los ‘m’. Dos variaciones son diferentes si tienen objetos distintos o están en orden diferente.

• El número total de variaciones de tamaño ‘n’ que se pueden formar con ‘m’ objetos es:

                     V­­_m,n =   m! / (m -n)!  

• Un caso especial o diferente de variación es la permutación. La permutación tiene lugar cuando n = m. Es decir, se hace un grupo con todos los elementos.

                                P_n = n!

Ejemplo. Hay que colocar a cinco personas en una fila; se puede hacer de P₅ = 5! = 120                                      maneras distintas.

• A veces nos interesan grupos sin orden. Se llama combinación de ‘m’ objetos de tamaño ‘n’ a cualquiera de los grupos de ‘n’ objetos que se pueden formar con los ‘m’, sin importar el orden. Dos combinaciones son diferentes si tienen objetos distintos.

Como se puede ver en el ejemplo, el número combinatorio se dio en la lección anterior, y se resuelve como ‘m sobre n’. Además, en el caso de los libros, se puede ver que claramente el orden es irrelevante.

Quizás este tema puede resultar un poco complicado si no se ha tenido una experiencia previa. Por ello, a continuación, adjunto unos cuantos ejercicios para que pueda ir repasando y terminar de entender o aprendido.

1.3.1. Ejercicios

1. Una persona tiene 4 pantalones y 5 camisas. ¿De cuántas formas puede vestirse?

• Hay 8 sustancias distintas en un laboratorio. Una persona elige 2 de esas 8 sustancias para mezclarlas. ¿Cuántas mezclas distintas de sustancias puede hacer?

• Juan va un concierto de una banda y tras este, le gusta tanto que termina por comprarse unos discos ¿De cuántas formas distintas pueden oírse 4 discos de la banda Radwimps?

• Kaneki es invitado a una reunión de dos días.  Posee 7 camisas, pero decide llevar 2. ¿Cuántas posibilidades tiene?

• Ayanami es propietaria de un negocio de maquetas. Cuando le hacen un pedido, cada maqueta debe ir en una caja sin que haya ninguna otra. ¿De cuántos modos distintos se pueden meter tres objetos en tres cajas si sólo se puede meter un objeto en una caja?

•  Jess, Nick, Winston, Schmidt y Cece desean hacerse una fotografía poniéndose todos en la misma fila. ¿Cuántas formas hay de colocarse?

• Tras hacerse la foto, Nick se va al baño; y los cuatro amigos restantes desean hacerse una foto en la que intercalen chica y chico. ¿Cuántas maneras tienen de colocarse?

• Una línea de bus sale de la parada 1, pasa por otras 5 (paradas 2,3,4,5 y 6) y llega a la última (la parada 7). ¿Cuántos billetes diferentes habrá que imprimir si se desea que en cada billete figure la parada en la que se sube el pasajero y la parada en la que se baja?